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    <title>函数的极限和连续性</title>
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</head>
<body>

<h2>函数的极限</h2>

<h3>邻域与函数极限</h3>

<ol class="definition">
	<b>邻域</b> 设 `delta gt 0`.
	<li>`x_0` 为一实数,
		<span class="formula">
			`(x_0-delta, x_0)`,
			`quad (x_0, x_0+delta)`
			`quad B(x_0, delta) := (x_0-delta, x_0+delta)`
		</span>
		分别称为 `x_0` 的<b>左 `delta` 邻域</b>, <b>右 `delta` 邻域</b>和
		<b>`delta` 邻域</b>,
		<span class="formula">
			`overset @ B(x_0, delta) := B(x_0, delta)\\{x_0}`
			`= {x: 0 lt |x-x_0| lt delta}`
			`= (x_0-delta, x_0) uu (x_0, x_0+delta)`
		</span>
		称为 `x_0` 的<b>去心 `delta` 邻域</b>.
	</li>
	<li>`+oo`, `-oo`, `oo` 的去心 `delta` 邻域分别记为
		<span class="formula">
			`overset @ B(+oo, delta) := (1//delta, +oo)`,
			`quad overset @ B(-oo, delta) := (-oo, -1//delta)`,<br/>
			`overset @ B(oo, delta) := {x: |x| gt 1//delta}`
			`= (-oo, -1//delta) uu (1//delta, +oo)`.
		</span>
		`overset @ B(+oo, delta)` 和 `overset @ B(-oo, delta)`
		也可看作 `oo` 的左 `delta` 邻域和右 `delta` 邻域.
	</li>
</ol>

<p class="definition">
	<b>函数极限</b>
	记 `RR^** = RR uu {+oo, -oo, oo}`,
	设函数 `f` 在点 `x_0 in RR^**` 的某个去心邻域内有定义, `a in RR^**`.
	如果对任意 `epsi gt 0`, 都存在相应的 `delta gt 0`, 使得
	<span class="formula">
		`f(x) in B(a, epsi)`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`,
	</span>
	(当 `x_0, a in RR` 时, 上式即
	<span class="formula">
		`|f(x) - a| lt epsi`, `quad AA 0 lt |x-x_0| lt delta`)
	</span>
	则称 `f(x)` 在 `x` 趋于 `x_0` 时<b>以 `a` 为极限</b>, 或称当 `x` 趋于
	`x_0` 时, `f(x)` <b>趋于 `a` 或收敛于 `a`</b>, 记作
	<span class="formula">
		`lim_(x to x_0) f(x) = a` 或 `f(x) to a` (`x to x_0`).
	</span>
	函数极限的这种定义称为 `epsi`-`delta` 语言.
</p>

<p class="remark">
	由定义知, 函数在 `x_0` 处的极限与它在 `x_0` 处的定义无关.
</p>

<p class="definition">
	<b>单侧极限</b>
	将函数极限定义中的 `overset @ B(x_0, delta)` 换成 `x_0` 的左 (右)
	`delta` 邻域, 其它条件不变, 则称 `f` 在 `x` 从左侧 (右侧) 趋于 `x_0`
	时以 `a` 为极限, 或称 `a` 是 `f` 趋于 `x_0` 的<b>左极限</b> (<b>右极限</b>), 记为
	<span class="formula">
		`lim_(x to x_0^-) f(x) = a`, `quad (lim_(x to x_0^+) f(x)
		= a)`,<br/>
	</span>
	或者
	<span class="formula">
		`f(x_0-0) = a`, `quad (f(x_0+0) = a)`.
	</span>
</p>

<p class="definition">
	设 `f` 在点集 `E sube RR` 上有定义, 且存在 `M gt 0` 使得
	<span class="formula">
		`|f(x)| le M`, `quad AA x in E`,
	</span>
	则称 `f` <b>在 `E` 上有界</b>, 否则称它<b>在 `E` 上无界</b>.
	若 `f` 在 `x_0` 的某个邻域上有界, 则称 `f` 在 `x_0`
	附近<b>局部有界</b>.
	在整个定义域上有界的函数称为<b>有界函数</b>, 否则称为<b>无界函数</b>.
</p>

<p class="example">
	若 `lim_(x to x_0) f(x) = 0`, `g` 在 `x_0` 附近局部有界,
	则 `lim_(x to x_0) f(x) g(x) = 0`.
	这个例子告诉我们, 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小.
</p>

<p class="proof">
	`AA epsi gt 0`, 由已知, 存在 `delta_1 gt 0`, `delta_2 gt 0` 和常数 `M
	gt 0` 使得
	<span class="formula">
		`|f(x)| lt epsi/M`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta_1)`,<br/>
		`|g(x)| le M`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta_2)`.
	</span>
	取 `delta lt min {delta_1, delta_2}`, 则以上两式在 `overset @ B(x_0,
	delta)` 中同时成立, 于是
	<span class="formula">
		`|f(x) g(x)| lt epsi`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`.
	</span>
</p>

<h3>函数极限的性质</h3>

<p>	这些性质的证明可类比于数列极限的相应定理. 我们只证其中一部分. </p>

<p class="theorem">
	<b>唯一性</b>
	若极限 `lim_(x to x_0) f(x)` 存在, 则该极限唯一.
</p>

<p class="proof">
	反设 `x to x_0` 时, `f(x)` 有极限 `a` 和 `b`, 且 `a != b`, 不妨设 `a
	lt b`. 令 `epsi = (b-a)//2 gt 0`, 由极限定义, 存在 `delta_1, delta_2
	gt 0`, 使得
	<span class="formula">
		`a-epsi lt f(x) lt a+epsi`,
		`quad AA x in overset @ B(x_0, delta_1)`,<br/>
		`b-epsi lt f(x) lt b+epsi`,
		`quad AA x in overset @ B(x_0, delta_2)`.
	</span>
	取 `delta = min{delta_1, delta_2}`,
	从而当 `x in overset @ B(x_0, delta)`
	`= overset @ B(x_0, delta_1) nn overset @ B(x_0, delta_2)` 时,
	<span class="formula">
		`f(x) lt a + epsi = b - epsi lt f(x)`,
	</span>
	矛盾. 所以 `a = b`.
</p>

<p class="theorem">
	<b>局部有界性</b>
	若极限 `lim_(x to x_0) f(x)` 存在, 则 `f` 在 `x_0` 附近局部有界.
</p>

<p class="proof">
	设 `lim_(x to x_0) f(x) = a`. 由极限定义, 存在 `delta gt 0`, 使得
	<span class="formula">
		`a - 1 lt f(x) lt a + 1`, `AA x in overset @ B(x_0, delta)`.
	</span>
	取 `M = |a| + 1`, 则 `|a+-1| le M`, 于是
	<span class="formula">
		`|f(x)| lt M`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`.
	</span>
	这说明 `f` 在 `x_0` 的一个去心邻域上有界. 如果补充 `f` 在 `x_0`
	处的定义, 则 `f` 在 `x_0` 的邻域上有界, 即局部有界.
</p>

<ol class="theorem">
	<b>局部保号性</b>
	设 `lim_(x to x_0) f(x) = a != 0`, 则存在一个介于 `a` 和 `0`
	之间的实数 `r`,
	<li>`a gt 0` 时, 在 `x_0` 的某去心邻域内有 `f(x) gt r gt 0`;</li>
	<li>`a lt 0` 时, 在 `x_0` 的某去心邻域内有 `f(x) lt r lt 0`.</li>
	从而若函数趋于 `x_0` 时有一个不等于零的极限, 则在 `x_0`
	的某去心邻域内, `f(x)` 与 `0` 保持一个正的距离.
</ol>

<p class="proof">
	只证结论 1, 结论 2 证明类似. 取 `epsi = a/2 gt 0`, 由极限定义,
	在 `x_0` 的某去心邻域内有 `a-a/2 lt f(x) lt a+a/2`,
	从而 `f(x) gt a/2 gt 0`. 取 `r = a/2` 即可.
</p>

<p class="theorem">
	<b>保序性</b>
	如果 `f(x)`, `g(x)` 在 `x to x_0` 时有极限, 且在 `x_0`
	的某去心邻域内成立 `f(x) le g(x)`, 则
	<span class="formula">
		`lim_(x to x_0) f(x) le lim_(x to x_0) g(x)`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>两边夹法则</b>
	设函数 `f`, `g`, `h` 都在 `x_0` 的某去心邻域内有定义, 且在该邻域内成立
	`f(x) le g(x) le h(x)`. 又设 `lim_(x to x_0) f(x) = lim_(x to x_0)
	h(x) = a`, 则 `lim_(x to x_0) g(x) = a`.
</p>

<p class="theorem">
	<b>四则运算</b>
	若 `lim_(x to x_0) f(x) = a`, `lim_(x to x_0) g(x) = b`, 则
	<span class="formula">
		`lim_(x to x_0) (f(x) +- g(x)) = a +- b`,
		`quad lim_(x to x_0) (f(x) g(x)) = a b`,
		`quad lim_(x to x_0) (f(x))/(g(x)) = a/b` (当 `b != 0`).
	</span>
	从而对任意常数 `c` 有 `lim_(x to x_0) (c f(x)) = c a`.
</p>

<h3>函数极限的复合</h3>

<p class="theorem">
	<b>函数极限的复合</b>
	设 `lim_(x to x_0) f(x) = y_0`, `lim_(y to y_0) g(y) = g(y_0)`, 则
	<span class="formula">
		`lim_(x to x_0) g(f(x)) = g(y_0)`.
	</span>
	这启发我们得出极限运算的<b>变量替换法则</b>: 若极限
	`a = lim_(x to x_0) g(f(x))` 不好计算, 则
	令 `y = f(x)`, 原问题就化为对极限
	`y_0 = lim_(x to x_0) f(x)` 和
	`a = lim_(y to y_0) g(y)` 的计算.
</p>

<p class="proof">
	`AA epsi gt 0`, 由 `lim_(y to y_0) g(y) = g(y_0)` 知, 存在 `sigma gt
	0`, 使得
	<span class="formula">
		`|g(y) - g(y_0)| lt epsi`, `quad AA y in overset @ B(y_0, sigma)`.
	</span>
	显然 `y = y_0` 时, 上面的不等式仍成立. 对于此 `sigma gt 0`,
	由 `lim_(x to x_0) f(x) = y_0` 知, 存在 `delta gt 0`, 使得
	<span class="formula">
		`f(x) in B(y_0, sigma)`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`.
	</span>
	综上有
	<span class="formula">
		`|g(f(x)) - g(y_0)| lt epsi`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`.
	</span>
</p>

<p>下面的定理揭示了函数极限与数列极限的联系:</p>

<ol class="theorem">
	<b>Heine 定理</b> 设 `f` 在 `x_0` 的某邻域上有定义, 则
	<li>`lim_(x to x_0) f(x) = a` 的充要条件是对任意以 `x_0`
		为极限的互异点列 `{x_n}` 都成立 `lim_(n to oo) f(x_n) = a`.
		所谓互异点列, 是指它的所有点两两不同.
	</li>
	<li>`f` 在 `x_0` 处连续的充要条件是对任意以 `x_0` 为极限的点列 `{x_n}`
		都成立 `lim_(n to oo) f(x_n) = f(x_0)`.
	</li>
</ol>

<p class="example">
  [来自 我是乱序的不等式]
  `lim_(x to oo) sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) sqrt(x^2+k)`.
</p>

<p class="solution">
  首先我们有恒等式 `sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) = 0`.
  当 `x` 趋于无穷大时 `sqrt(x^2+k)` 相对于 `k` 的变化是小的,
  我们近似认为它对于 `k` 是常数, 可以提到求和号外面.
  因此猜想这个极限是 `0`.<br>
  我们来实际证明它.  提出 `x`, 得
  <span class="formula">
    `x sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) sqrt(1+k/x^2)`
    `= x sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) (1 + o(1/x))`
    `= 0 + sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) o(1) to 0`.
  </span>
</p>

<h2>两个重要极限</h2>

<h2>等价无穷小</h2>

<p class="example">
    当 `x to 0` 时,
    <span class="formula">
        `sin x ~ x`, `tan x ~ x`, `arcsin x ~ x`, `arctan x ~ x`,
        `1 - cos x ~ x^2/2`, `tanx - sin x ~ x^3/2`.
    </span>
</p>

<p class="proof">
    `tan x - sin x = tan x(1 - cos x) ~ x * x^2/2`.
</p>

<p class="example">
  若 `f, g to 1`, 则 `f - g ~ ln f - ln g` 是等价无穷小.
</p>

<p class="proof">
  设 `f = 1 + alpha`, `g = 1 + beta`, 则 `alpha, beta` 是无穷小,
  <span class="formula">
    `ln f - ln g`
    `= ln{:(1+alpha)/(1+beta):}`
    `= ln(1+(alpha-beta)/g)`
    `~ (alpha - beta)/g`
    `~ f - g`.
  </span>
</p>

<p class="example">
  [来自 汽水]
  `lim_(x to 0) ((sin x + "e"^(tan x))^(1/x) - (tan x + "e"^(sin x))^(1/x))/x^3`.
</p>

<p class="solution">
  [来自 诗许] 首先
  <span class="formula">
    `(sin x + "e"^(tan x))^(1/x)`
    `~ exp((sin x + "e"^(tan x) - 1)/x)`
    `~ exp(1+1) = "e"^2`.
  </span>
  同理 `(tan x + "e"^(sin x))^(1/x) to "e"^2`.
  现在利用 `f, g to 1` 时 `f - g ~ ln f - ln g`, 原式极限等价于
  <span class="formula align">
    `"e"^2/x^4 ln((sin x + "e"^(tan x))/(tan x + "e"^(sin x)))`<br>
    `~ "e"^2/x^4 ((sin x + "e"^(tan x))/(tan x + "e"^(sin x)) - 1)`<br>
    `~ "e"^2/x^4 [(sin x - "e"^(sin x)) - (tan x - "e"^(tan x))]`<br>
    `~ "e"^2/x^4 (sin x - tan x) (xi - "e"^xi)'`, `quad sin x lt xi lt tan x<br>
    `~ -"e"^2/2 (1-"e"^xi)/x`
    `~ "e"^2/2`.
  </span>
</p>

<h2>函数的连续性</h2>

<ol class="theorem">
	<b>Lipschitz 条件</b>
	设函数 `f` 的定义域为 `D`. 考察它的<b>差商</b> `(f(x) - f(y))/(x-y)`.
	<li>若差商在 `x_0 in D` 附近局部有界, 即存在常数 `L gt 0` 和 `delta gt
		0`, 使得
		<span class="formula">
			`|f(x) - f(y)| le L|x-y|`, `quad AA x, y in B(x_0, delta)`,
		</span>
		则 `f` 在 `x_0` 处连续.
	</li>
	<li>若差商在 `D` 上有界, 即存在常数 `L gt 0` 使得
		<span class="formula">
			`|f(x) - f(y)| le L|x-y|`, `quad AA x, y in D`,
		</span>
		则称 `f` 在 `D` 上 Lipschitz 连续或满足 Lipschitz 条件, `L` 称为
		Lipschitz 常数.  这时可以推出 `f` 在 `D` 上一致连续.
	</li>
</ol>

<p class="proof">
	`AA x_0 in D`, 设存在常数 `L` 和 `x_0` 的邻域 `G`, 使得
	<span class="formula">
		`|f(x) - f(x_0)| le L|x-x_0|`, `quad AA x in G`.
	</span>
	取 `0 lt delta lt epsi//L`,
	则对任意 `x in B(x_0, delta) nn G` 有
	<span class="formula">
		`|f(x) - f(x_0)| le epsi`,
	</span>
	这就证明了结论 1. 如果 `f` 在 `D` 上 Lipschitz 连续, 则在上面的证明中,
	`L` 与 `x_0` 的选取无关, 相应地 `delta` 也与 `x_0` 选取无关, 因此 `f`
	在 `D` 上一致连续.
</p>

<h3>初等函数的连续性</h3>

<ol class="example">
	<li>`"e"^x` 在 `RR` 上连续;</li>
	<li>`ln x` 在 `(0, +oo)` 上连续;</li>
	<li>`x^alpha` (`alpha in RR`) 在 `(0, +oo)` 上连续;</li>
	<li>`sin x`, `cos x` 在 `RR` 上 Lipschitz 连续;</li>
	<li>`arcsin x` 在 `(-1, 1)` 上连续;</li>
	<li>`arctan x` 在 `RR` 上连续.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`AA x_0 in RR`, `AA epsi gt 0`,
		取 `0 lt delta lt ln(1+"e"^(-x_0) epsi)`.
		记 `h = "e"^(-x_0) epsi gt 0`, 因为
		<span class="formula">
			`ln(1+h) + ln(1-h) = ln(1-h^2) lt 0`,
		</span>
		所以 `|ln(1+h)| lt |ln(1-h)|`.
		于是 `0 lt |x-x_0| lt delta` 时, 有
		<span class="formula">
			`ln(1-h) lt x-x_0 lt ln(1+h)`,
		</span>
		取指数得
		<span class="formula">
			`1-h lt "e"^(x-x_0) lt 1+h`,
		</span>
		即 `|"e"^(x-x_0)-1| lt h`. 于是
		<span class="formula">
			`|"e"^x - "e"^(x_0)|`
			`= "e"^(x_0) |"e"^(x-x_0)-1|`
			`lt "e"^(x_0) h = epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>`AA x_0 gt 0`, `AA epsi gt 0`,
		取 `0 lt delta lt x_0(1-"e"^-epsi)`, 因为
		<span class="formula">
			`("e"^epsi-1) - (1-"e"^-epsi)`
			`= ("e"^(epsi//2) - "e"^(-epsi//2))^2 gt 0`,
		</span>
		所以 `|"e"^epsi-1| gt |"e"^-epsi-1|`.
		取 `x gt 0`, 当 `x` 满足 `0 lt |x-x_0| lt delta` 时, 有
		<span class="formula">
			`x_0("e"^-epsi-1) lt x-x_0 lt x_0("e"^epsi-1)`,
		</span>
		即 `"e"^-epsi lt x/x_0 lt "e"^epsi`,
		取对数得 `|ln x - ln x_0| lt epsi`.
	</li>
	<li>将 `x^alpha` 变形为 `"e"^(alpha ln x)`.
		由复合函数的极限运算法则知道它是连续函数.
	</li>
	<li>只证 `sin x`. `AA x_0 in RR`, 记 `a = (x+x_0)/2`, `b = (x-x_0)/2`,
		运用和差化积公式,
		<span class="formula">
			`|sin x - sin x_0|`
			`= |sin(a+b) - sin(a-b)|`
			`= 2 |cos a sin b|`
			`le 2 |sin b| le 2 |b|`
			`= |x-x_0|`.
		</span>
	</li>
	<li>`AA x_0 in (-1, 1)`, 先证
		`lim_(x to x_0) sqrt(1-x^2) = sqrt(1-x_0^2)`,
		这只需注意到
		<span class="formula">
			`|sqrt(1-x^2)-sqrt(1-x_0^2)|`
			`= |x^2-x_0^2|/(sqrt(1-x^2)+sqrt(1-x_0^2))`
			`le |x^2-x_0^2|/sqrt(1-x_0^2)`
			`to 0`.
		</span>
		现在由极限的四则运算得
		<span class="formula">
			`|arcsin x - arcsin x_0|`
			`le |tan(arcsin x - arcsin x_0)|`
			`= |(sin(arcsin x - arcsin x_0))/(cos(arcsin x - arcsin x_0))|`
			`= |(x sqrt(1-x_0^2) - x_0
			sqrt(1-x^2))/(sqrt(1-x^2)sqrt(1-x_0^2) + x x_0)|`
			`to 0`.
		</span>
	</li>
	<li>
		应用极限的四则运算,
		<span class="formula">
			`|arctan x - arctan x_0|`
			`le |tan(arctan x - arctan x_0)|`
			`= |x-x_0|/|1+x x_0|`
			`to 0`.
		</span>
	</li>
</ol>

<p class="corollary">
	由极限的四则运算与复合法则知道, 初等函数在其定义域的每个内点处都连续.
</p>

<h2>有界闭区间上的连续函数</h2>

<h2>杂例</h2>

<p class="example">
	求 `root 3 (1+2x^2+x^3)` 在 `x to oo` 时的渐近线.
</p>

<p class="solution">
	设它有渐近线 `y = a x + b`, 则
	<span class="formula">
	`{:
		0 ,= lim_(x to oo) (root 3 (1+2x^2+x^3) - a x - b);
		,= lim_(x to 0) (root 3 (1 + 2/x^2 + 1/x^3) - a/x - b);
		,= lim_(x to 0) (root 3 (x^3 + 2x + 1) - a - b x)//x;
		,= lim_(x to 0) (1 + 1/3(x^3 + 2 x) + o(x) - a - b x)//x;
		,= lim_(x to 0) (2/3-b) + (1-a)//x
	:}`
	</span>
	因此 `a = 1, b = 2/3`.
</p>

<p class="example">
    已知极限 `lim_(x to 0) ("e"^x - 1 - x)/x^2 = a` 存在, 求 `a` 的值.
</p>

<p class="proof">
    由已知
    <span class="formula">
        `a = lim_(x to 0) ("e"^(2x) - 1 - 2x)/(2x)^2`
        `= lim_(x to 0) (("e"^x-1)^2 + 2("e"^x-1) - 2x)/(4x^2)`
        `= 1/4 + a/2`.
    </span>
    于是 `a = 1/2`.
</p>

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</body>
</html>
